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こんばんは。
一週間以上振りの日記です。ここ一週間で自分の研究である4階の非線形偏微分方程式の研究を進めていました。目標は指導教員から渡されているのですが、つまり、「初期曲面（曲線）の滑らかさを緩められないか」ということです。現在一般に知られている命題としては、初期値$u_0$を$h^{2+\beta}$ぐらいの滑らかさの良い空間から取ってきたときには局所解が存在することが知られています。さて、この初期値を$C^{1+\beta}$ぐらいに弱められないかということです。最高階の項が$-\frac{1}{(1+u_x^2)^2}u_{xxxx}$という形なので先生は滑らかさを緩められるはずだとおっしゃっていました。
Lunardiの本にはさすがに4階の非線形偏微分方程式については扱っていないので巻末の参考文献を図書館で探して、各定理、命題が適用できないかどうか探っていました。で、分かったこととして、今考えているsurface diffusionなどは2階以下の非線形項に$u_{xx}^2$という（嫌な）項が掛かっているのでやはり$C^{2+\beta}$ぐらいの滑らかさはどうしても必要となります。もし、Lunardiの本の結果を適用したいのであれば、非線形項の$u_{xx}$を$\|u\|_{C^{1+\alpha}}$で評価しなくてはいけないのですが、2階微分の項を$1+\alpha$階程度のノルムで評価する方法というのはオレは知りません。先生はご存じなのでしょうか。もし、そのような方法があったとしても$A$のdomainを上手くとるなどのかなり強い仮定を置く必要があると直感的に思います。
とりあえず、研究は行き詰りました。